Proposition (명제)
참과 거짓을 판별할 수 있는 문장.
Axiom (공리)
증명이 필요없는 항상 옳다고 인정되는 명제.
Theorem (정리)
수학적으로 참인 공리 또는 정의를 기반으로 증명된 명제.
Lemma (보조정리)
다른 정리를 증명하는 데 쓸 목적으로 증명된 명제.
Corollary (따름정리)
추론이라고도 부른다. 이미 증명된 다른 정리에 의해 바로 유도되는 명제.
1. 정리와 보조 정리의 예
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① 정리 1 (Theorem 1)
\(a\)와 \(b\)가 양의 정수이면, \(gcd(a, b) = sa + tb\)인 \(s\)와 \(t\)가 존재한다.
(즉, 양의 정수 \(a\)와 \(b\)에 대해, \(gcd(a, b)\)는 \(a\)와 \(b\)의 선형 결합으로 표현할 수 있다.)
증명
\(k\)가 \(x a + y b\) 형태(선형 결합)로 나타낼 수 있는 가장 작은 양의 정수라고 가정하자.
(이 때 \(q = a\)를 \(k\)로 나눈 몫이라고 가정한다.)
\(a\) \(mod\) \(k = a - q k = a - q(x a + y b) = a(1 - q x) + b(-q y)\)가 성립한다.
즉, \(a\) \(mod\) \(k\) 역시 \(a\)와 \(b\)를 이용한 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
이 때, \(k\)가 \(a\)와 \(b\)의 선형 결합으로 만들 수 있는 가장 작은 양의 정수이므로,
\((a\) \(mod\) \(k) ≤ 0\), \((a\) \(mod\) \(k) ≥ k\) (부등식ⅰ)가 성립한다.
또한 \(mod\) 연산의 정의에 따라 \(0 ≤ (a\) \(mod\) \(k) < k\) (부등식ⅱ) 역시 성립한다.
부등식ⅰ와 ⅱ를 모두 만족하려면 \((a\) \(mod\) \(k) = 0\) 이다. (즉, \(k|a\))
같은 방법으로 \((b\) \(mod\) \(k) = 0\) 임을 보일 수 있기 때문에, \(k|b\)를 만족한다.
위의 결과에 따라 \(k\)는 \(a\)와 \(b\)의 공약수임을 알 수 있다. 따라서 \(gcd(a, b) ≥ k\) (부등식ⅲ)를 만족한다.
최대공약수의 성질에 따라 \(gcd(a, b)\)는 \(a\)와 \(b\) 공통의 약수이기 때문에, \(a\)와 \(b\)의 선형 결합인 \(k\)도 나눌 수 있다.
즉 \(gcd(a, b)|k\) 이 성립하며, \(gcd(a, b) ≤ k\) (부등식ⅳ)를 만족시킨다.
부등식 ⅲ와 ⅳ를 모두 만족하려면 \(gcd(a, b) = k\)가 된다.
\(\therefore\) 따라서, \(gcd(a, b) = a(1 - q x) + b(-q y)\)인 \(x\)와 \(y\)가 존재하며, \(s = 1 - q x, t = -q y\)가 된다.
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② 보조정리(Lemma)
양의 정수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(gcd(a, b) = 1\) 이고, \(a | b c\) 이면 \(a|c\) 이다.
증명
\(gcd(a, b) = 1\)이므로 정리 1에 의해 \(s a + t b = 1\)인 \(s\)와 \(t\)가 존재한다.
이 식의 양쪽에 \(c\)를 곱하면 \(s a c + t b c = c\)이다.
\(a | b c\) 이면 \(a | t b c\)를 만족하며, \(a | s a c\) 역시 만족한다.
\(\therefore\) 따라서 \(a\)는 \(s a c\)와 \(t b c\)의 선형 결합인 \(s a c + t b c (= c)\) 역시 나누게 된다.
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③ 증명 과정에 ②를 사용하는 정리 2 (Theorem 2)
\(m\)이 양의 정수이고 \(a\), \(b\), \(c\)가 정수이면 \(ac ≡ bc\) \((mod\) \(m)\)이고 \(gcd(c, m) = 1\)이면 \(a≡b\) \((mod\) \(m)\)이다.
증명
\(ac ≡ bc\) \((mod\) \(m)\)이므로 \(m|(ac - bc) = c(a - b)\).
보조정리에 의해 \(gcd(c, m) = 1\) 이므로 \(m|(a - b)\) 이다.
즉, \(a ≡ b\) \((mod\) \(m)\)이다.
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2. 정리와 따름 정리의 예
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① 나머지 정리 (Remainder Theorem)
\(x\)에 대한 다항식 \(f(x)\)를 \(x\)에 대한 일차식 \((x - a)\)로 나눈 나머지는 \(f(a)\)이다.
증명
\(f(x)\)를 \((x - a)\)로 나누었을 때 몫을 \(q(x)\), 나머지를 \(r\)이라고 하면, \(f(x) = (x - a) q(x) + r\) 이다.
이 때 x에 a를 대입해보면 다음과 같다.
\(f(a) = (a - a) q(a) + r = 0 \cdot q(a) + r = r\)
\(\therefore f(a) = r\)
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② ①의 따름 정리(Corollary)
\(x\)에 대한 다항식 \(f(x)\)가 일차식 \(x - a\)로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 \(f(a) = 0\)이다.
(이 따름 정리는 인수정리(Factor Theorem) 이라고도 부른다.)
증명
정리 ①에서 \(f(x) = (x - a) q(x) + f(a)\) 이므로,
\(f(x)\)가 \((x - a)\)로 나누어 떨어지려면, \(f(a) = 0\)이어야 한다.
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In mathematics, a lemma (plural lemmata or lemmas[1]) from the Greek λῆμμα (lemma, “anything which is received, such as a gift, profit, or a bribe”) or helping theorem is a proven proposition which is used as a stepping stone to a larger result rather than as a statement of interest by itself. There is no formal distinction between a lemma and a theorem, only one of intention – see Theorem terminology. However, a lemma can be considered a minor result whose sole purpose is to help prove a theorem - a step in the direction of proof, so to speak.[2]
A good stepping stone can lead to many others. Some powerful results in mathematics are known as lemmata, such as Bézout's lemma, Dehn's lemma, Euclid's lemma, Farkas' lemma, Fatou's lemma,Gauss's lemma, Greendlinger's lemma, Itō's lemma, Jordan's lemma, Nakayama's lemma, Poincaré's lemma, Riesz's lemma, Schwarz's lemma, Urysohn's lemma, Yoneda's lemma and Zorn's lemma. While these results originally seemed too simple or too technical to warrant independent interest, they have turned out to be central to the theories in which they occur.
See also[edit]
References[edit]
External links[edit]
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